نظریه مجموعه‌ها یکی از پایه‌های اصلی ریاضیات مدرن است که در حوزه‌های مختلف از جبر و احتمال گرفته تا علوم کامپیوتر و منطق ریاضی کاربرد دارد. در این مقاله، عملیات اصلی روی مجموعه‌ها و ویژگی‌های آن‌ها مانند اجتماع‌پذیری، قوانین دمورگان، حاصل‌ضرب دکارتی، و انواع مختلف مجموعه‌های عددی را بررسی می‌کنیم.
۱. عملیات روی مجموعه‌ها
اجتماع (∪)
اجتماع دو مجموعه شامل تمامی عناصر موجود در هر دو مجموعه است:
A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
ویژگی‌ها:
اجتماع‌پذیری:
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
جابجایی:
A ∪ B = B ∪ A
عنصر خنثی: اجتماع هر مجموعه با مجموعه تهی برابر با خود مجموعه است:
A ∪ ∅ = A
اشتراک (∩)
اشتراک دو مجموعه شامل عناصر مشترک بین دو مجموعه است:
A ∩ B = {3}
ویژگی‌ها:
اشتراک‌پذیری:
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
جابجایی:
A ∩ B = B ∩ A
عنصر خنثی:
A ∩ U = A (اگر U مجموعه مرجع باشد) A ∩ ∅ = ∅
تفاضل (−)
تفاضل مجموعه عناصر مجموعه اول را که در مجموعه دوم نیستند شامل می‌شود:
A − B = {1, 2} B − A = {4, 5}
ویژگی‌ها:
A − A = ∅ (هیچ عنصری باقی نمی‌ماند)
A − ∅ = A (هیچ تغییری در مجموعه ایجاد نمی‌شود)
۲. قوانین دمورگان
قوانین دمورگان رابطه بین اجتماع، اشتراک و متمم مجموعه‌ها را بیان می‌کند:
(A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ
این قوانین نشان می‌دهند که متمم اجتماع برابر با اشتراک متمم‌ها و متمم اشتراک برابر با اجتماع متمم‌ها است.
۳. حاصل‌ضرب دکارتی (×)
حاصل‌ضرب دکارتی مجموعه‌ای از تمام زوج‌های مرتب ممکن بین دو مجموعه است:
A = {x, y}, B = {1, 2} A × B = {(x,1), (x,2), (y,1), (y,2)}
ویژگی‌ها:
تعداد عناصر:
|A × B| = |A| × |B|
غیرجابجایی:
A × B ≠ B × A
۴. تساوی و هم‌ارزی مجموعه‌ها
تساوی مجموعه‌ها
دو مجموعه زمانی مساوی هستند که همه عناصر آن‌ها یکسان باشند:
A = {1, 2, 3}, B = {3, 2, 1} A = B (چون فقط ترتیب متفاوت است)
هم‌ارزی مجموعه‌ها
دو مجموعه هم‌ارز هستند اگر تعداد عناصرشان برابر باشد:
A = {x, y, z}, B = {1, 2, 3} |A| = |B| → A ≈ B
۵. بسته بودن مجموعه‌ها
یک مجموعه بسته است اگر عملیات روی عناصر آن مجموعه، همواره عنصری از همان مجموعه تولید کند.
مثال‌ها:
اعداد صحیح تحت جمع بسته هستند:
∀ a, b ∈ ℤ → (a + b ∈ ℤ)
اعداد طبیعی تحت تفریق بسته نیستند:
3 - 5 ∉ ℕ
۶. انواع مجموعه‌های عددی
مجموعه‌های عددی و ویژگی‌های آن‌ها
| نام مجموعه | نماد | ویژگی‌ها |
| اعداد طبیعی | ℕ | {0, 1, 2, 3, ...} - بسته تحت جمع و ضرب |
| اعداد صحیح | ℤ | {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} - بسته تحت جمع، ضرب و تفریق |
| اعداد گویا | ℚ | شامل تمام اعداد کسری مثل 1/2 - بسته تحت چهار عمل اصلی |
| اعداد گنگ | ℚᶜ | شامل اعداد غیرکسری مثل √2 و π |
| اعداد حقیقی | ℝ | شامل همه اعداد: طبیعی، صحیح، گویا و گنگ |
