مجموعه‌ها در ریاضیات

۱. تعریف‌ها و نمادگذاری مجموعه

مجموعه به معنی یک گردآوردهٔ منظم از عناصر متمایز است. معمولاً با حروف بزرگ مانند A، B، C نام‌گذاری می‌شود و عناصر آن در داخل آکولاد {} نوشته می‌شوند:

A = {1, 2, 3, 4}   # مجموعه‌ای شامل چهار عدد

شیوه‌های نمایش مجموعه:

نمادگذاری توصیفی: تعریف بر اساس ویژگی اعضا

B = {x | x عدد زوج کمتر از ۱۰ باشد} → B = {2, 4, 6, 8}

مجموعه تهی (∅): هیچ عنصری ندارد: C = {} یا C = ∅
مجموعه‌های متناهی و نامتناهی: متناهی: شمارش‌پذیر؛ نامتناهی: مانند مجموعه اعداد طبیعی N = {1, 2, 3, ...}
مجموعه جهانی (U): مجموعه‌ای که شامل تمام عناصر مورد بحث است
متمم مجموعه (Aᶜ): عناصر موجود در U که در A نیستند
```
A = {2, 4, 6}, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → Aᶜ = {1, 3, 5}
```

اجتماع (A ∪ B): ترکیب همهٔ عناصر از هر دو مجموعه
```
A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} → A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
```
اشتراک (A ∩ B): عناصر مشترک در هر دو مجموعه
```
A ∩ B = {3}
```
تفاضل (A − B): عناصر در A که در B نیستند
```
A − B = {1, 2} ، B − A = {4, 5}
```
متمم (Aᶜ): عناصر خارج از A در مجموعهٔ جهانی
```
U = {1, 2, 3, 4, 5} ، A = {1, 2} → Aᶜ = {3, 4, 5}
```
ضرب دکارتی (A × B): جفت‌سازی هر عنصر A با هر عنصر B
```
A = {x, y}, B = {1, 2} → A × B = {(x,1), (x,2), (y,1), (y,2)}
```

ضرب دکارتی چند مجموعه:

|A₁ × A₂ × ... × Aₙ| = |A₁| × |A₂| × ... × |Aₙ|