تشخیص اعداد اول با استفاده از غربال اراتوستن تا عدد ۱۹۹

شرح الگوریتم

غربال اراتوستن یکی از روش‌های کلاسیک و مؤثر برای یافتن تمام اعداد اول کوچکتر یا مساوی عدد n است.
در این روش، ابتدا لیستی از اعداد ۲ تا n در نظر گرفته می‌شود. سپس در هر مرحله، مضرب‌های عدد اول فعلی حذف می‌شوند تا فقط اعداد اول باقی بمانند.

مراحل الگوریتم:

1. شروع از عدد ۲ (اولین عدد اول)
2. حذف تمام مضرب‌های عدد فعلی از لیست
3. انتخاب عدد بعدی که هنوز حذف نشده و تکرار مرحله ۲
4. ادامه تا زمانی که عدد فعلی بزرگ‌تر از ریشهٔ مربع عدد n باشد

کد پایتون:

def sieve_of_eratosthenes(n: int) -> list[int]:
    is_prime = [True] * (n + 1)
    is_prime[0:2] = [False, False]  # 0 و 1 اول نیستند

    for i in range(2, int(n**0.5) + 1):
        if is_prime[i]:
            for multiple in range(i * i, n + 1, i):
                is_prime[multiple] = False

    return [i for i, prime in enumerate(is_prime) if prime]

# اجرای غربال تا ۱۹۹
primes_up_to_199 = sieve_of_eratosthenes(199)
print("اعداد اول تا ۱۹۹:")
print(primes_up_to_199)

نمونه خروجی:

اعداد اول تا ۱۹۹:  
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199]