بسط اعشاری: ضرب، تقسیم، توان، و کاربردهای

۱. نمایش اعشاری و نحوه بیان

نمایش اعشاری عدد را به‌صورت ترکیب اجزای کسری نمایش می‌دهد:

1.25 = 1 + 0.2 + 0.05

مثال تبدیل کسری به اعشاری:

• 1/2 = 0.5
• 1/4 = 0.25

برخی نمایش‌ها متناهی‌اند (مثلاً 0.75)، برخی بی‌نهایت (مانند 0.333...)

۲. ضرب اعداد اعشاری

مراحل:

1. علامت اعشار را حذف و ضرب معمولی انجام دهید.
2. در انتها تعداد مکان‌های اعشاری را اعمال کنید.

مثال:

1.2 × 0.03 = (12 × 3) ÷ 100 = 0.036

۳. تقسیم اعداد اعشاری

مراحل:

1. مقسوم‌علیه را به عدد صحیح تبدیل کنید.
2. در مقسوم نیز همان تغییر اعشار را اعمال کنید.
3. تقسیم را انجام دهید.

مثال:

2.4 ÷ 0.4 → (24 ÷ 4) ÷ 10 = 6

۴. توان در اعداد اعشاری

فرمول عمومی: aⁿ = a × a × ... (n بار)

(0.2)² = 0.2 × 0.2 = 0.04

توان منفی:

(0.5)⁻² = 1 / (0.5 × 0.5) = 4

۵. نمایش کسری در توان‌های منفی

1 / (0.1)² = 1 / 0.01 = 100

این تکنیک‌ها در تحلیل عددی و کاربردهای واقعی بسیار مهم‌اند.

۶. معادلات نمایی

فرمول: aˣ = b

برای حل، از لگاریتم استفاده می‌کنیم:

2ˣ = 8 → x = log₂(8) = 3

کاربردها: رشد جمعیت، بهره مرکب، فیزیک

۷. بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک (GCD)

روش معمول:

• یافتن عوامل هر عدد
• انتخاب بزرگ‌ترین عامل مشترک

مثال:

GCD(12, 18) = 6

الگوریتم اقلیدس:

GCD(48, 18):
48 ÷ 18 → باقیمانده 12
18 ÷ 12 → باقیمانده 6
12 ÷ 6 → باقیمانده 0 → GCD = 6

۸. کوچک‌ترین مضرب مشترک (LCM)

روش معمول:

• یافتن مضرب‌های هر عدد
• انتخاب کوچک‌ترین مضرب مشترک

LCM(12, 18) = 36

استفاده از GCD برای یافتن LCM:

LCM = (عدد۱ × عدد۲) ÷ GCD

LCM(12, 18) = (12 × 18) ÷ 6 = 36

نتیجه‌گیری

مفاهیم مربوط به اعداد اعشاری، توان‌ها، تقسیم، و الگوریتم‌های GCD و LCM در پایه ریاضی کاربرد دارند. تسلط بر این مفاهیم نه‌تنها محاسبات را ساده‌تر می‌کند، بلکه در علوم کاربردی، مالی و تحلیل داده‌ها بسیار ارزشمند است.