آرک و توابع معکوس مثلثاتی (Arcsin، Arccos، Arctan و سایر توابع)

1. تابع معکوس مثلثاتی چیست؟

توابع معکوس مثلثاتی توابعی هستند که زاویه را بر حسب مقدار یک نسبت مثلثاتی تعیین می‌کنند.

به‌عبارت دیگر، اگر مقدار sin، cos یا tan یک زاویه داده شود، با استفاده از توابع معکوس می‌توان خود زاویه را محاسبه کرد.

2. مفهوم آرک (Arc)

در ریاضیات، واژهٔ آرک به معنای تابع معکوس یک تابع مثلثاتی است.

برای مثال، اگر داشته باشیم:

sin θ = x

در این صورت:

θ = arcsin x

3. تابع آرک‌سینوس (arcsin)

آرک‌سینوس زاویه‌ای را برمی‌گرداند که سینوس آن برابر مقدار داده‌شده باشد.

y = arcsin x

دامنه و برد آرک‌سینوس:

• دامنه: -1 ≤ x ≤ 1
• برد: -π/2 ≤ y ≤ π/2

4. تابع آرک‌کسینوس (arccos)

آرک‌کسینوس زاویه‌ای را تعیین می‌کند که کسینوس آن برابر مقدار داده‌شده باشد.

y = arccos x

دامنه و برد آرک‌کسینوس:

• دامنه: -1 ≤ x ≤ 1
• برد: 0 ≤ y ≤ π

5. تابع آرک‌تانژانت (arctan)

آرک‌تانژانت زاویه‌ای را برمی‌گرداند که تانژانت آن برابر مقدار داده‌شده باشد.

y = arctan x

دامنه و برد آرک‌تانژانت:

• دامنه: تمام اعداد حقیقی
• برد: -π/2 < y < π/2

6. تابع آرک‌کتانژانت (arccot)

آرک‌کتانژانت زاویه‌ای است که کتانژانت آن مقدار مشخصی باشد.

y = arccot x

دامنه و برد آرک‌کتانژانت:

• دامنه: تمام اعداد حقیقی
• برد: 0 < y < π

7. روابط مهم بین توابع و توابع معکوس

بین توابع مثلثاتی و معکوس آن‌ها روابط زیر برقرار است:

sin(arcsin x) = x

cos(arccos x) = x

tan(arctan x) = x

8. کاربرد توابع معکوس مثلثاتی

توابع معکوس مثلثاتی در حل معادلات مثلثاتی، محاسبهٔ زاویه‌ها، فیزیک، مهندسی، ناوبری و گرافیک کامپیوتری کاربرد فراوانی دارند.

نتیجه‌گیری

توابع آرک یا معکوس مثلثاتی ابزارهایی ضروری برای بازگرداندن زاویه از نسبت‌های مثلثاتی هستند. شناخت دامنه، برد و روابط این توابع