لگاریتم و توابع لگاریتمی در ریاضیات: تعریف، ویژگی‌ها، نمودار و روابط مهم

1. لگاریتم چیست؟

لگاریتم نشان می‌دهد که برای رسیدن به یک عدد، پایه چند بار باید در خودش ضرب شود. تعریف رسمی:

log_a(b) = x   یعنی   a^x = b

در اینجا a پایه، b عدد و x لگاریتم است.

مثال:

log_2(8) = 3   چون  2^3 = 8

2. تابع لگاریتمی چیست؟

تابع لگاریتمی معکوس تابع نمایی است و به صورت زیر تعریف می‌شود:

f(x) = log_a(x)

که در آن a یک عدد مثبت و متفاوت از 1 است.

3. ویژگی‌های تابع لگاریتمی

برای a > 1 تابع صعودی است
برای 0 < a < 1 تابع نزولی است
دامنه: (0, ∞)
برد: (-∞, ∞)
نقطه مهم: f(1) = 0
تابع لگاریتمی و نمایی معکوس یکدیگرند

4. نمودار تابع لگاریتمی

نمودار تابع لگاریتمی:

از سمت چپ به محور y نزدیک می‌شود اما آن را قطع نمی‌کند
برای x > 1 مقدار تابع مثبت است
برای 0 < x < 1 مقدار تابع منفی است
نقطه (1, 0) همیشه روی نمودار قرار دارد

5. روابط مهم لگاریتم‌ها

1. رابطه ضرب

log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)

2. رابطه تقسیم

log_a(x / y) = log_a(x) - log_a(y)

3. رابطه توان

log_a(x^k) = k · log_a(x)

4. لگاریتم 1

log_a(1) = 0

5. لگاریتم پایه

log_a(a) = 1

6. تغییر پایه

log_a(x) = log_b(x) / log_b(a)

6. لگاریتم طبیعی و لگاریتم ده‌دهی

لگاریتم طبیعی (ln)

لگاریتم با پایه e (عدد نپر):

ln(x) = log_e(x)

لگاریتم ده‌دهی (log)

لگاریتم با پایه 10:

log(x) = log_10(x)

7. مشتق تابع لگاریتمی

مشتق لگاریتم طبیعی:

d/dx [ln(x)] = 1/x

مشتق لگاریتم با پایه دلخواه:

d/dx [log_a(x)] = 1 / (x ln(a))

8. کاربردهای لگاریتم

حل معادلات نمایی
مدل‌سازی رشد و کاهش
مقیاس‌های لگاریتمی (ریشتر، دسی‌بل، pH)
تحلیل داده‌های بزرگ
احتمال و آمار
علوم کامپیوتر (پیچیدگی زمانی log n)

9. مثال‌های مهم

مثال 1:

log_2(32) = 5
چون 2^5 = 32

مثال 2:

ln(e^4) = 4

مثال 3:

log(0.01) = -2
چون 10^-2 = 0.01

10. جمع‌بندی

لگاریتم و توابع لگاریتمی نقش اساسی در ریاضیات و علوم دارند. این توابع معکوس توابع نمایی‌اند و روابط مهمی مانند ضرب، تقسیم، توان و تغییر پایه دارند. لگاریتم‌ها در مدل‌سازی، تحلیل داده، فیزیک، اقتصاد و علوم کامپیوتر کاربرد گسترده‌ای دارند.