تابع و برد در ریاضیات

1. تعریف تابع چیست؟

در ریاضیات، تابع رابطه‌ای است که به ازای هر ورودی، دقیقاً یک خروجی تولید می‌کند. اگر ورودی را x و خروجی را f(x) بنامیم، آنگاه تابع را می‌توان یک ماشین تبدیل ورودی به خروجی دانست.

مثال ساده:

f(x) = x + 3

در این مثال، تابع مقدار x را گرفته و سه واحد به آن اضافه می‌کند.

2. دامنه (Domain) چیست؟

دامنه مجموعه تمام ورودی‌هایی است که تابع می‌تواند بدون ایجاد خطا دریافت کند. به عبارت دیگر، دامنه محدوده‌ای است که تابع در آن تعریف شده است.

مثال دامنه:

تابع زیر را در نظر بگیر:

f(x) = 1 / x

در این تابع، مقدار x نمی‌تواند صفر باشد، زیرا تقسیم بر صفر تعریف نشده است. بنابراین دامنه تابع تمام اعداد حقیقی به جز 0 است.

3. برد (Range) چیست؟

برد مجموعه تمام خروجی‌هایی است که تابع می‌تواند تولید کند. برد به رفتار تابع و دامنه آن بستگی دارد.

مثال برد:

تابع زیر را بررسی کن:

f(x) = x^2

از آنجا که مربع هر عدد حقیقی همیشه مقداری غیرمنفی است، برد این تابع برابر است با تمام اعداد بزرگ‌تر یا مساوی 0.

4. تفاوت دامنه و برد

• دامنه: ورودی‌های مجاز تابع
• برد: خروجی‌های ممکن تابع
• دامنه را ما تعیین می‌کنیم، اما برد را رفتار تابع مشخص می‌کند

5. مثال ترکیبی از دامنه و برد

تابع زیر را در نظر بگیر:

f(x) = √(x - 2)

تحلیل دامنه:

عبارت زیر رادیکال باید غیرمنفی باشد:

x - 2 ≥ 0

پس دامنه برابر است با x ≥ 2.

تحلیل برد:

چون ریشهٔ دوم هیچ‌گاه منفی نمی‌شود، برد تابع برابر است با:

f(x) ≥ 0

6. جمع‌بندی

درک صحیح از تابع، دامنه و برد برای تحلیل رفتار هر رابطهٔ ریاضی ضروری است. دامنه مشخص می‌کند چه ورودی‌هایی مجاز هستند و برد نشان می‌دهد خروجی‌های ممکن چه مقادیری خواهند بود. این مفاهیم پایه‌ای در بسیاری از شاخه‌های ریاضیات و علوم مهندسی کاربرد دارند.