تابع جزء صحیح در ریاضیات: تعریف، ویژگی‌ها، نمودار و کاربردها

1. تابع جزء صحیح چیست؟

تابع جزء صحیح که با نماد ⌊x⌋ یا floor(x) نمایش داده می‌شود، عدد حقیقی x را به بزرگ‌ترین عدد صحیحِ کمتر یا مساوی آن تبدیل می‌کند.

تعریف رسمی:

⌊x⌋ = بزرگ‌ترین عدد صحیح ≤ x

مثال‌ها:

⌊3.7⌋ = 3
⌊2⌋ = 2
⌊-1.2⌋ = -2

2. ویژگی‌های تابع جزء صحیح

تابعی پله‌ای و ناپیوسته است
در هر بازه [n, n+1) مقدار ثابت دارد
در نقاط صحیح پرش (Jump) دارد
تابعی غیرصعودی نیست؛ همیشه صعودی یا ثابت است
برای اعداد منفی مقدار آن کمتر از عدد ورودی است

3. نمودار تابع جزء صحیح

نمودار تابع f(x) = ⌊x⌋ به صورت پله‌های افقی است. هر پله از یک عدد صحیح شروع می‌شود و تا عدد صحیح بعدی ادامه دارد.

ویژگی‌های نمودار:

پله‌ها در سمت چپ بسته و در سمت راست باز هستند
در هر نقطه صحیح یک پرش رو به بالا دیده می‌شود
نمودار شکلی نردبانی دارد

4. دامنه و برد تابع جزء صحیح

دامنه: همه اعداد حقیقی (ℝ)
برد: همه اعداد صحیح (ℤ)

5. رفتار تابع در بازه‌ها

تابع جزء صحیح در بازه [n, n+1) مقدار n را برمی‌گرداند.

مثال:

برای x در بازه [2, 3):
⌊x⌋ = 2

6. کاربردهای تابع جزء صحیح

نظریه اعداد و تقسیمات
برنامه‌نویسی و الگوریتم‌ها
مدل‌سازی پله‌ای و گسسته
تحلیل داده‌های گسسته
محاسبه تعداد کامل واحدها (مثل تعداد جعبه‌ها، بسته‌ها و…)

7. مثال‌های مهم

مثال 1:

f(x) = ⌊x⌋
f(5.99) = 5
f(-3.1) = -4

مثال 2:

f(x) = ⌊2x⌋
اگر x = 1.4:
2x = 2.8
⌊2.8⌋ = 2

8. رابطه تابع جزء صحیح با تابع سقف

تابع سقف (Ceiling) برعکس رفتار جزء صحیح عمل می‌کند:

⌈x⌉ = کوچک‌ترین عدد صحیح ≥ x

مثال:

⌊2.3⌋ = 2
⌈2.3⌉ = 3

9. جمع‌بندی

تابع جزء صحیح یکی از توابع مهم و پرکاربرد در ریاضیات است که عدد را به بزرگ‌ترین عدد صحیح کمتر یا مساوی آن تبدیل می‌کند. نمودار آن پله‌ای، دامنه آن همه اعداد حقیقی و برد آن اعداد صحیح است. این تابع در برنامه‌نویسی، نظریه اعداد و مدل‌سازی گسسته کاربرد فراوان دارد.