روابط مثلثاتی: روابط زوج و فرد، روابط بین نسبت‌ها و زوایای π ، π/2 و 3π/2

1. روابط زوج و فرد در مثلثات

برخی از نسبت‌های مثلثاتی دارای خاصیت زوج یا فرد هستند که در ساده‌سازی عبارات بسیار کاربرد دارند.

سینوس (تابع فرد):

sin(-α) = -sin(α)

کسینوس (تابع زوج):

cos(-α) = cos(α)

تانژانت (تابع فرد):

tan(-α) = -tan(α)

کتانژانت (تابع فرد):

cot(-α) = -cot(α)

2. روابط بین نسبت‌های مثلثاتی

نسبت‌های مثلثاتی با یکدیگر روابط مستقیمی دارند که به آن‌ها روابط پایه‌ای گفته می‌شود.

رابطه تانژانت و کتانژانت:

tan α = sin α / cos α

cot α = cos α / sin α

روابط معکوس:

tan α = 1 / cot α

cot α = 1 / tan α

3. روابط فیثاغورسی نسبت‌های مثلثاتی

این روابط از قضیه فیثاغورس در دایرهٔ مثلثاتی به‌دست می‌آیند.

sin²α + cos²α = 1

1 + tan²α = 1 / cos²α

1 + cot²α = 1 / sin²α

4. روابط مربوط به زاویه π (پی)

زاویه π رادیان معادل 180 درجه است.

sin(π - α) = sin α

cos(π - α) = -cos α

tan(π - α) = -tan α

cot(π - α) = -cot α

5. روابط مربوط به زاویه π/2

زاویه π/2 رادیان معادل 90 درجه است.

sin(π/2 - α) = cos α

cos(π/2 - α) = sin α

tan(π/2 - α) = cot α

cot(π/2 - α) = tan α

6. روابط مربوط به زاویه 3π/2

زاویه 3π/2 رادیان معادل 270 درجه است.

sin(3π/2 - α) = -cos α

cos(3π/2 - α) = -sin α

tan(3π/2 - α) = cot α

cot(3π/2 - α) = tan α

نتیجه‌گیری

روابط مثلثاتی ابزارهای کلیدی برای حل و ساده‌سازی عبارات ریاضی هستند. تسلط بر روابط زوج و فرد، روابط بین نسبت‌ها و روابط مربوط به زوایای مهم مانند π، π/2 و 3π/2 نقش اساسی در موفقیت در مباحث پیشرفته مثلثات دارد.