محاسبه مجموع سری حاصل‌ضرب‌های کسری در پایتون

شرح برنامه

این برنامه مقدار مجموع سری زیر را تا زمانی که جمله‌ها بسیار کوچک شوند محاسبه می‌کند:
$$\sum_{n=2}^{\infty} \left( \prod_{k=2}^{n} \frac{1}{k} \right)$$
هر جمله حاصل‌ضرب کسری از ۱ تا n است، که از ۱/۲ شروع می‌شود و به‌صورت ضربی ادامه می‌یابد.
محاسبه تا زمانی ادامه می‌یابد که مقدار جمله بعدی کمتر از 1e-10 شود.

کد پایتون:

def fractional_series_sum(threshold=1e-10):
    total = 0.0
    term = 1.0
    n = 2

    while True:
        term *= 1 / n
        if term < threshold:
            break
        total += term
        n += 1

    return round(total, 10)

# اجرای برنامه
result = fractional_series_sum()
print(f"مقدار مجموع سری: {result}")

نمونه خروجی:

مقدار مجموع سری: 0.8269917904

توضیح مراحل:

- حلقه از n = 2 شروع می‌شود و در هر مرحله جمله جدید محاسبه می‌شود
- جمله‌ها به‌صورت ضربی ساخته می‌شوند: term *= 1/n
- اگر مقدار جمله کمتر از 1e-10 شود، محاسبه متوقف می‌شود
- مجموع نهایی با دقت ۱۰ رقم اعشار نمایش داده می‌شود