توابع وارون در ریاضیات: تعریف، شرایط، روش محاسبه و مثال‌ها

1. تابع وارون چیست؟

تابع وارون تابعی است که اثر تابع اصلی را معکوس می‌کند. اگر تابع f ورودی x را به خروجی y تبدیل کند، تابع وارون f⁻¹ مقدار y را دوباره به x برمی‌گرداند.

f(x) = y
f⁻¹(y) = x

به بیان ساده، تابع وارون مسیر تابع اصلی را برعکس می‌کند.

2. شرط وجود تابع وارون

یک تابع تنها زمانی وارون‌پذیر است که یک‌به‌یک باشد. یعنی هیچ دو ورودی متفاوتی نباید خروجی یکسان تولید کنند.

شرط رسمی:

f(a) = f(b)  →  a = b

اگر تابع یک‌به‌یک نباشد، وارون آن یک تابع نخواهد بود.

3. روش محاسبه تابع وارون

برای یافتن تابع وارون معمولاً مراحل زیر را انجام می‌دهیم:

• جایگزین کردن y = f(x)
• عوض کردن جای x و y
• حل کردن معادله برای y
• نوشتن نتیجه به صورت f⁻¹(x)

مثال:

f(x) = 3x - 1
y = 3x - 1
x و y را عوض می‌کنیم:
x = 3y - 1
حل برای y:
3y = x + 1
y = (x + 1) / 3
پس:
f⁻¹(x) = (x + 1) / 3

4. بررسی وارون‌پذیری با آزمون خط افقی

اگر هر خط افقی نمودار تابع را حداکثر در یک نقطه قطع کند، تابع وارون‌پذیر است.

مثال:

تابع f(x) = x^3 آزمون خط افقی را می‌گذراند، پس وارون‌پذیر است.

5. توابعی که وارون ندارند

بسیاری از توابع به دلیل یک‌به‌یک نبودن، وارون‌پذیر نیستند.

مثال:

f(x) = x^2

چون f(2) = 4 و f(-2) = 4، تابع وارون‌پذیر نیست.

6. وارون‌پذیر کردن تابع با محدود کردن دامنه

گاهی می‌توان با محدود کردن دامنه، تابع را وارون‌پذیر کرد.

مثال:

f(x) = x^2

اگر دامنه را به x ≥ 0 محدود کنیم، تابع یک‌به‌یک می‌شود و وارون خواهد داشت:

f⁻¹(x) = √x

7. رابطه تابع و وارون آن

تابع و وارون آن یکدیگر را خنثی می‌کنند:

f(f⁻¹(x)) = x
f⁻¹(f(x)) = x

این ویژگی یکی از مهم‌ترین خصوصیات توابع وارون است.

8. نمودار تابع وارون

نمودار تابع وارون نسبت به خط y = x متقارن است.

مثال:

f(x) = 2x + 1
f⁻¹(x) = (x - 1) / 2

نمودار این دو تابع نسبت به خط y = x قرینه‌اند.

9. جمع‌بندی

توابع وارون نقش مهمی در ریاضیات دارند زیرا امکان بازسازی ورودی از روی خروجی را فراهم می‌کنند. تنها توابع یک‌به‌یک وارون‌پذیر هستند و برای یافتن وارون کافی است جای x و y را عوض کرده و معادله را حل کنیم. شناخت توابع وارون برای یادگیری حسابان، جبر و مدل‌سازی ریاضی ضروری است.