توابع یک‌به‌یک در ریاضیات

1. تابع یک‌به‌یک چیست؟

یک تابع را یک‌به‌یک یا تزریقی می‌نامیم اگر هر خروجی فقط از یک ورودی به دست بیاید. به‌صورت رسمی، تابع f یک‌به‌یک است اگر:

f(a) = f(b)  →  a = b

یعنی هیچ دو ورودی متفاوتی نباید خروجی یکسان تولید کنند.

2. چرا توابع یک‌به‌یک مهم هستند؟

توابع یک‌به‌یک اهمیت زیادی دارند زیرا تنها این توابع هستند که تابع وارون دارند. اگر تابع یک‌به‌یک نباشد، وارون آن یک تابع نخواهد بود.

مثال:

f(x) = 2x + 3

این تابع یک‌به‌یک است زیرا ورودی‌های متفاوت همیشه خروجی‌های متفاوت تولید می‌کنند.

3. آزمون خط افقی

ساده‌ترین روش تشخیص تابع یک‌به‌یک، آزمون خط افقی است. اگر هر خط افقی نمودار تابع را حداکثر در یک نقطه قطع کند، تابع یک‌به‌یک است.

مثال:

نمودار تابع f(x) = x^3 آزمون خط افقی را با موفقیت می‌گذراند، پس یک‌به‌یک است.

4. روش جبری برای تشخیص تابع یک‌به‌یک

برای بررسی جبری، کافی است f(a) = f(b) را بنویسیم و ببینیم آیا نتیجه می‌دهد a = b.

مثال:

f(x) = x^3 + 1
f(a) = f(b)
a^3 + 1 = b^3 + 1
a^3 = b^3
a = b

پس تابع یک‌به‌یک است.

5. توابعی که یک‌به‌یک نیستند

برخی توابع آزمون خط افقی را رد می‌کنند و یک‌به‌یک نیستند.

مثال:

f(x) = x^2

چون f(2) = 4 و f(-2) = 4، تابع یک‌به‌یک نیست.

6. یک‌به‌یک کردن تابع با محدود کردن دامنه

گاهی می‌توان با محدود کردن دامنه، تابع را یک‌به‌یک کرد.

مثال:

f(x) = x^2

این تابع روی کل اعداد حقیقی یک‌به‌یک نیست، اما اگر دامنه را به x ≥ 0 محدود کنیم، یک‌به‌یک می‌شود.

7. رابطه توابع یک‌به‌یک با تابع وارون

تابع تنها زمانی وارون‌پذیر است که یک‌به‌یک باشد. تابع وارون نگاشت تابع اصلی را معکوس می‌کند.

مثال:

f(x) = 3x - 1
f⁻¹(x) = (x + 1) / 3

این وارون وجود دارد چون تابع اصلی یک‌به‌یک است.

8. شکل نمودار توابع یک‌به‌یک

• خروجی‌ها تکراری نیستند
• آزمون خط افقی را می‌گذرانند
• اغلب رفتار یکنوا دارند (همیشه صعودی یا همیشه نزولی)

9. جمع‌بندی

توابع یک‌به‌یک نقش مهمی در ریاضیات دارند زیرا تضمین می‌کنند هر خروجی تنها از یک ورودی به دست می‌آید. این ویژگی باعث می‌شود تابع وارون وجود داشته باشد و تحلیل روابط ریاضی ساده‌تر شود. شناخت توابع تزریقی برای یادگیری مباحث پیشرفته‌تر مانند توابع وارون، حسابان و ساختارهای جبری ضروری است.