تابع قدرمطلق در ریاضیات: تعریف، ویژگی‌ها، نمودار و کاربردها

1. تابع قدرمطلق چیست؟

تابع قدر مطلق مقدار یک عدد را بدون توجه به علامت آن برمی‌گرداند. تعریف رسمی آن به صورت زیر است:

|x| = 
  x     اگر x ≥ 0
  -x    اگر x < 0

بنابراین خروجی تابع قدرمطلق همیشه غیرمنفی است.

2. ویژگی‌های تابع قدرمطلق

• خروجی همیشه ≥ 0 است
• نمودار آن V‑شکل است
• در نقطه x = 0 یک گوشه (Corner) دارد
• تابعی زوج است: |-x| = |x|
• نمایانگر فاصله یک نقطه از صفر روی محور اعداد است

3. نمودار تابع قدرمطلق

نمودار تابع f(x) = |x| یک V بزرگ است که رأس آن در مبدأ قرار دارد.

ویژگی‌های نمودار:

• برای x ≥ 0 خطی با شیب 1
• برای x < 0 خطی با شیب -1
• تقارن نسبت به محور y

4. دامنه و برد تابع قدرمطلق

• دامنه: همه اعداد حقیقی (ℝ)
• برد: همه اعداد غیرمنفی [0, ∞)

5. مشتق تابع قدرمطلق

تابع قدرمطلق در همه نقاط به جز صفر مشتق‌پذیر است:

f(x) = |x|
f'(x) = 1     اگر x > 0
f'(x) = -1    اگر x < 0
در x = 0 مشتق وجود ندارد

6. حل معادلات با قدرمطلق

برای حل معادلات قدرمطلق، دو حالت مثبت و منفی را بررسی می‌کنیم.

مثال:

|x - 3| = 5
حالت 1: x - 3 = 5  →  x = 8
حالت 2: x - 3 = -5 →  x = -2

7. حل نامعادلات قدرمطلق

مثال 1: نامعادله کمتر از

|x - 2| < 3

این نامعادله به بازه تبدیل می‌شود:

-3 < x - 2 < 3
→ -1 < x < 5

مثال 2: نامعادله بزرگ‌تر از

|x| > 4

دو بازه جداگانه:

x > 4  یا  x < -4

8. کاربردهای تابع قدرمطلق

• محاسبه فاصله روی محور اعداد
• مدل‌سازی خطا و انحراف
• تحلیل نمودارهای V‑شکل
• حل معادلات و نامعادلات
• کاربرد در هندسه، فیزیک و اقتصاد

9. مثال‌های بیشتر

مثال 1:

f(x) = |x + 1|
رأس نمودار: x = -1

مثال 2:

f(x) = |2x - 4|
شیب‌ها: 2 و -2
رأس: x = 2

10. جمع‌بندی

تابع قدرمطلق یکی از توابع بنیادی ریاضیات است که مقدار یک عدد را بدون توجه به علامت آن برمی‌گرداند. نمودار آن V‑شکل، دامنه آن همه اعداد حقیقی و برد آن اعداد غیرمنفی است. این تابع در حل معادلات، نامعادلات، فاصله‌ها و مدل‌سازی کاربرد گسترده‌ای دارد.